Acum câteva zile am prezentat o mică enigmă cunoscută sub numele de Paradoxul din Sankt Petersburg. Este vorba despre un jocuri de noroc a cărei valoare așteptată este infinită și, prin urmare, prețul corect pentru joc ar trebui să fie, de asemenea, infinit, în ciuda faptului că acest lucru este împotriva intuiției și a bunului simț. Unde este defectul sau captura? după cum am spus deja în postarea originală, rezultatul matematic este perfect corect. Cu toate acestea, ceva ne scapă.

soluția

În comentarii au fost contribuite idei și puncte de vedere foarte interesante. După părerea mea, dintre toate, cea mai interesantă reflecție este cea a celor care cred că valoarea „reală” așteptată a jocului este redusă deoarece de câte ori putem juca nu poate fi infinit, este limitat fizic. Dar chiar și așa, valoarea așteptată a jocului este încă prea mare pentru ca prețul corect să fie rezonabil (de exemplu, dacă am avea un plafon de o mie de rotiri, valoarea așteptată ar fi de 500 EUR, dar probabilitatea că vom depăși cinci sau șase fețe la rând sunt la fel de la distanță).

Soluția la enigmă a venit în 1738 tocmai din mâna lui Daniel bernoulli, nepot al lui Nicholas Bernoulli (care a propus paradoxul), deși Gabriel cramer Deja anticipasem rezultatul cu ani înainte. Cheia se află în indiciul pe care l-am dat deja în abordarea originală: valoarea banilor Nu este același lucru pentru matematicieni ca și pentru muritorii obișnuiți.

De fapt, în „Noua teorie a măsurării norocului”, Daniel Bernoulli afirmă următoarele:

Functie utilitara (u (x)) este trucul pe care economiștii îl folosesc pentru a putea reprezenta matematic preferințele agenților economici, iar în cazul unei persoane raționale, deși este mereu în creștere, crește într-un concav (adică crește din ce în ce mai încet). Simțul comun susține această intuiție. Valoarea „reală” de 100 de euro pentru cineva care are zero este enormă (deoarece este o chestiune de supraviețuire), dar pentru cineva care are deja un milion de euro, este neglijabilă. Cu alte cuvinte, utilității marginale de bani scade.

Prin urmare, nu trebuie să măsurăm valoarea așteptată a jocului, ci utilitatea așteptată (pe care o vom numi U). Revizuind formulele din celălalt post, ne-am da seama rapid că utilitatea menționată este U = (1/4) u (2) + (1/8) u (4) + (1/16) u (8) +. = Σ [u (2 n)/2 n + 1], unde u (x) reprezintă utilitatea de a primi x euro.

Dar cum arată funcția u (x)? de fapt, este imposibil să se măsoare numeric satisfacția obținută, și, de fapt, fiecare consumator va avea propria funcție de utilitate (de exemplu, un iubitor de riscuri va percepe o utilitate așteptată mai mare în joc decât o persoană foarte conservatoare). Ceea ce au făcut Cramer și Bernoulli a fost să testeze cu funcții care răspundeau la caracteristicile pe care ar trebui să le aibă o funcție de utilitate: crescătoare, concavă și zero la origine (utilitatea pe care o produce din a avea zero euro este de asemenea zero).

Mai exact, Cramer a testat funcția √x. Dezvoltând expresia, am vedea că U = Σ [2 n/2/2 n + 1] = Σ [2 - (n/2) -1]. Dacă facem suma de termeni infiniti (care nu are nicio problemă majoră, deoarece este geometrică și convergentă), se dovedește că utilitatea așteptată a jocului este 1.207.

Dar utilitatea este √x, iar ceea ce ne interesează este x (care reprezintă bani). Deci √x = 1.207 ⟶ x = 1.457 €. Prețul nostru echitabil a trecut de la infinit la puțin sub un euro și jumătate! De fapt, nu este o nebunie, deoarece la sfârșitul zilei avem 50% șanse să pierdem banii investiți.

Bernoulli și-a făcut exemplele cu funcția de logaritm. Dacă luăm funcția jurnal (x + 1) (adăugând +1 astfel încât funcția să fie nulă la origine) și repetăm ​​operația, am avea U = Σ [log (2 n +1)/2 n + 1]. Această serie converge, de asemenea, iar rezultatul numeric ar fi U = 0,832 și, din moment ce u = log (x + 1) am obține x = 1.298 €, cu atât mai puțin în cazul anterior.

După cum am comentat, alegerea funcția de utilitate este subiectivă. Aceste două exemple ar corespunde unor oameni foarte conservatori, contrari risc. Faptul că avem șanse de 50% să pierdem toți banii reduce drastic utilitatea așteptată a jocului. Dacă am face o mică modificare în joc, astfel încât cei care primesc cozi la prima aruncare să nu plece cu mâinile goale, ci să primească un euro și calculăm din nou, am vedea că cu formula lui Cramer am merge la x = 2.914 €: eliminând riscul de a reveni gol, am fi dispuși să dublăm investiția.

Am putea analiza și alte funcții de utilitate mai puțin conservatoare care continuă să îndeplinească proprietățile. De exemplu, cineva mai iubitor de riscuri cu o funcție de utilitate u = x 2/3 ar fi dispus să plătească 2.668 € pentru că ai jucat chiar și cu 50% șanse să nu câștigi nimic. Dar, în orice caz, ideea este că, chiar dacă valoarea așteptată a jocului este infinită, utilitatea așteptată nu este, iar o persoană rațională, oricât de iubitoare de risc, nu ar plăti un preț foarte mare pentru a juca (de fapt, ar aproape imposibil să găsești pe cineva dispus să plătească mai mult de 10 €).

În opinia mea, acest tip de lucruri sunt cel mai interesant lucru Economie: utilizați matematica pentru a reprezenta concepte subiective precum aversiunea la risc. Desigur, evident că modelele sunt modele și, de multe ori (așa cum vedem cu criza), ele eșuează lamentabil.