CURS DE MATEMATICĂ DE BAZĂ ONLINE (ALGEBRA, GEOMETRIE)

punctul zecimal

COMPONENTELE LOGARITMELOR

Subiecte asemănătoare:

Partea fracționată a unui logaritm este în general scrisă ca o zecimală. Partea numerică întreagă a unui logaritm și partea zecimală au primit nume separate, deoarece fiecare joacă un rol special în raport cu numărul reprezentat de logaritm. Partea numerică întreagă a unui logaritm se numește CARACTERISTICĂ. Această parte a logaritmului indică poziția punctului zecimal în numărul asociat. Partea zecimală a logaritmului se numește MANTISA.

Logaritmul zecimal de 4570 este 3,65992; figura 3 este caracteristica; fracția zecimală este mantisa, ambele părți nu sunt nule; la logaritmul de 3, care este 0,4712, caracteristica este nulă; puterile a 10 ale exponentului întreg au logaritm zecimal cu mantisă nulă.

Logaritmul lui 1 are, în orice sistem, ambele părți nule.

Pentru o anumită secvență de cifre care alcătuiesc un număr, mantisa unui logaritm comun este întotdeauna aceeași, indiferent de poziția punctului zecimal în acel număr. De exemplu, jurnal 5270 = 3,72181; mantisa este 0,72181 iar caracteristica este 3.

CARACTERISTICĂ

Caracteristica unui logaritm comun indică poziția punctului zecimal în numărul asociat. Caracteristica pentru un număr dat se găsește prin observare. Se va reaminti că un logaritm comun este pur și simplu un exponent de bază 10.

Când scriem jurnal 360 = 2.55630, înțelegem acest lucru înseamnă 10 2.55630 = 360. Știm că numărul este 360 ​​și nu 36 sau 3600 deoarece caracteristica este 2. Știm că 10 1 este 10, 10 2 este, 100 și 10 3 este 1000. Prin urmare, numărul a cărui valoare este 10 2.55630 va fi între 100 și 1000 și apoi fiecare număr din intervalul respectiv are trei cifre.

Să presupunem că caracteristica a fost 1: unde va fi plasat punctul zecimal al numărului? Deoarece 10 1 este 10 și 10 2 este 100, orice număr al cărui logaritm este între 1 și 2 trebuie să fie între 10 și 100 și va avea 2 cifre. Observați cum se schimbă poziția punctului zecimal cu valoarea caracteristică din următoarele exemple:

jurnal 36.000 = 4.55630
log 3.600 = 3.55630
jurnal 360 = 2.55630
jurnal 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630

Rețineți că atunci când punctul zecimal este mutat, numai caracteristica se schimbă. Acesta este un avantaj al utilizării bazei 10: dacă caracteristica este cunoscută, punctul zecimal este ușor de localizat. Dacă numărul este cunoscut, caracteristica este determinată prin observare; adică observarea plasării punctului zecimal.

Deși înțelegerea relației caracteristicii cu privire la puterea lui 10 este necesară pentru o cunoaștere completă a logaritmilor, caracteristica poate fi determinată mecanic cu aplicarea următoarei reguli:

1. Pentru un număr mai mare de 1, caracteristica este pozitivă și este cu una mai mică decât numărul de cifre din stânga punctului zecimal al numărului.

2. Pentru un număr pozitiv mai mic de 1, caracteristica este negativă și are o valoare absolută cu 1 mai mare decât numărul de zerouri dintre punctul zecimal și prima cifră diferită de zero a numărului.

Tabelul 8-5 conține exemple ale fiecărui tip de caracteristică.

Tabelul 8-5. Caracteristici pozitive și negative.

SCHIMBAREA BAZEI

Având în vedere logaritmul unui număr dintr-un sistem, logaritmul acestuia poate fi calculat în orice alt sistem, o problemă cunoscută sub numele de schimbarea bazei.

Fi X logaritmul P la baza la; logaritmul P la baza b.

Pentru a fi X logaritmul P, la baza la relația este verificată P = a x, luând logaritmi la bază b, în această egalitate rezultă: logbP = x logba; substituind X de către egalul său logaP, tu ai: logbP = logaP. logba: care în cuvinte se exprimă spunând: odată ce se cunoaște logaritmul unui număr dintr-o bază, echivalentul său se găsește în alta înmulțindu-l cu logaritmul primei baze în a doua.

Așa te duci de la bază și la baza 10 punerea: log10P = logeP. 0,44329 … Acest factor de proporționalitate se numește modul de transformare și este simbolizat prin literă M. Pentru a exprima un logaritm dat în baza 10 în bază și, aplicând afirmația anterioară, avem relația logeQ = log10Q. loge10 = log10Q. 2.30259; Acest factor de proporționalitate este reciproc al celui anterior, deci este reprezentat de 1/M.

COLOGARITMUL UNUI NUMĂR

Definiție. Logaritmul acestui semn schimbat se numește cologaritmul unui număr. În simboluri: cologaritmul lui n = - log n.

Cologaritmul este abreviat prin punere colog.

Din definiție rezultă că log n + colog n = 0. deci se concluzionează că colog a unui număr este complementul său la zero; și de atunci

jurnal 1/n = - jurnal n, Se mai poate spune că colog a unui număr este logaritmul reciproc al acestuia.

Importanța conceptului care tocmai a fost definit rezidă în faptul că, într-o sumă de logaritmi, termenii negativi pot fi înlocuiți cu cologaritmii respectivi precedați de semnul de adunare.

Cologaritmul unui număr se obține rapid, dat fiind logaritmul acestuia, scăzând din 10 prima cifră non-zero din dreapta mantisei, din 9 restul din stânga, până la punctul zecimal; la caracteristică se adaugă o unitate pozitivă și se schimbă semnul acestei sume.

ANTILOGARITMUL UNUI LOGARITM

da p este logaritmul n într-un sistem de bază la Oamenii spun asta n este el antilogaritm de p în baza menționată.

Din definiția rezultă, deci, că trebuie să fie n = a P, Sau ce este același: n = loga n

Exemplu: Deoarece log10615 = 2.78888 este un antilog. 2.8888 = 615.

PRACTICA PROBLEMEI:

În problemele 1-4, scrieți caracteristica logaritmului pentru fiecare număr. De la 5 la 8 plasați punctul zecimal în fiecare număr, așa cum este indicat de caracteristica (c) dată pentru fiecare.

1. 4.321 Două. 1.23 3. 0,05 4. 12
5. 123; c = 4 6. 8.210; c = 0
7. 8; c = -1 8. 321; c = -2

1. 3 Două. 0 3. -Două 4. 1
5. 12.300 6. 8,1210 7. 0,8 8. 0,0321

CARACTERISTICI NEGATIVE

Când o caracteristică este negativă, cum ar fi -2, nu facem scăderea, deoarece aceasta ar implica o mantisă negativă. Există mai multe moduri de a indica o caracteristică negativă. Mantisele, așa cum sunt prezentate în tabelele din anexă, sunt întotdeauna pozitive, iar semnul caracteristicii este indicat separat. De exemplu,; bara de deasupra celor 2 indică faptul că numai caracteristica este negativă; adică logaritmul este -2 + 0,36173.

Un alt mod de a indica caracteristica negativă este plasându-l după mantisă. În acest caz, scriem 0,36173 -2.

O a treia metodă, utilizată în acest capitol atunci când este posibil, este să adăugați o anumită sumă la. caracteristica și scade aceeași cantitate la dreapta în mantisă. În cazul exemplului putem scrie:

În această formă, valoarea logaritmului rămâne neschimbată, dar acum avem caracteristică pozitivă și mantisă.

MANTISA

Mantisa este partea zecimală a logaritmului. Tabelele de logaritmi conțin în general doar mantise, deoarece caracteristica este ușor de determinat, așa cum am explicat mai devreme. Tabelul 8-6 ​​prezintă caracteristica, mantisa și logaritmul pentru diferite poziții ale punctelor zecimale utilizând secvența de cifre 4, 5, 6. Se va observa că mantisa nu se modifică pentru această secvență specială de cifre, indiferent de poziția cifră.zecimal.

PRACTICA PROBLEMEI:
Determinați logaritmii următoarelor numere:

1. 64 Două. 98 3. 6400 4. 9.8

1. 1.80618 Două. 1.99123
3. 3.80618 4. 0,99123

OPERAȚII CU LOGARITME

Operațiile care sunt exprimate mai jos se vor face cu logaritmi de mantisă pozitivă.

SUMĂ

Dacă caracteristicile sunt toate pozitive, suma logaritmilor dați se reduce la suma numerelor zecimale. Dacă caracteristicile sunt toate negative, sau unele pozitive și altele negative, se adaugă mantise și dacă această sumă conține o parte întreagă (care este pozitivă), această parte va fi adăugată la suma algebrică a caracteristicilor. Cu ambele rezultate se va forma suma logaritmului.

Acest caz va fi ilustrat cu un exemplu. Fi

suma mantiselor 1.65610, cel al caracteristicilor și al întregului 1 este

reunind ambele rezultate avem că suma propusă este 3.65610.

SUBTRACȚIA A DOUĂ LOGARITME

Dacă mantisa minuendului este mai mare decât cea a subtrahendului, diferența este mantisa diferenței logaritmilor dați; dacă prima este mai mică decât cea a doua, prima este mărită cu 1 și caracteristica este mărită cu o unitate negativă. În toate cazurile, caracteristica este diferența caracteristicilor în ordinea dată.

Toate aceste exemple pot fi rezolvate apelând la cologaritmii subtrahendelor.

PRODUS CU NUMĂR ȘI LOGARITM

Exemplele ilustrează procedura care trebuie urmată în fiecare caz.

1. 5 x log 217 = 5 x 2.33646 = 11.68230. Înmulțiți-le cu regulile numerelor zecimale.

Două. 0,4 x log 0,00715 = 0,4 x 3,85431. Caracteristica și mantisa sunt înmulțite separat și se adaugă rezultatele:

Coeficientul unui logaritm după un număr

1. Dacă logaritmul și numărul sunt pozitive: este coeficientul a două numere raționale pozitive.

2. Dacă logaritmul are un multiplu caracteristic negativ al divizorului și acesta este pozitiv, rezultatul este:

Caracteristica este împărțită la divizorul, care va fi negativ și separat prin punctul zecimal, coeficientul este continuat cu mantisa, în acest caz pozitiv.

3. În acest exemplu,

caracteristica este negativă, dar nu este un multiplu al divizorului; apoi i se adaugă atâtea unități negative cât este necesar, astfel încât rezultatul cel mai mic multiplu al divizorului, iar la mantisă același număr de unități pozitive; acestea sunt împărțite separat una și alta parte, și apoi unite pentru a forma un singur număr, dar separate printr-un punct zecimal.

Dacă divizorul a fost negativ, acest semn afectează dividendul și duce astfel la unele dintre cazurile deja discutate.

Coeficientul a două logaritmi (nu vă confundați cu logaritmul unui coeficient).

în acest caz se face coeficientul ambelor numere zecimale.

´

Partea negativă este separată de partea pozitivă, coeficientul se face separat:

cu care se va forma un singur număr. În toate cazurile, coeficientul a două logaritmi duce la coeficientul a două expresii zecimale, pozitive sau negative, din care va rezulta un semn unic pentru acea.

Operații cu numere reale negative

Deși numerele negative nu au logaritmi în câmpul real, acest lucru nu înseamnă că utilizarea lor este interzisă în toate operațiunile dacă pot fi interpretate corect.

Exemplu: într-un produs cu factori în care apar unele negative, semnul unui astfel de produs va fi determinat în prealabil; atunci va fi operat ca și cum ar fi numere pozitive și rezultatul va fi afectat de acel semn. Același lucru este valabil și pentru coeficientul etc.

Ecuația logaritmică

O ecuație logaritmică într-o variabilă se numește ecuație într-o variabilă, în care necunoscutul apare supus unui logaritm, de exemplu loga x + loga m = n, Unde m Da n sunt numere reale. Sau, într-un alt mod, o ecuație logaritmică este una în care apar logaritmi ai necunoscutului sau ai polinoamelor care conțin necunoscutul, cum ar fi:

Cunoașterea și aplicarea legilor logaritmilor stau la baza rezolvării ecuațiilor logaritmice.

Prin proprietatea care stabilește valoarea logaritmului unității, rezultă că:

Exemple:

Rezolvați următoarele ecuații .

Se numeste ecuație exponențială într-o variabilă la o ecuație într-o variabilă în care necunoscutul apare în exponent, așa de exemplu, m x + n x = r, Unde m, n Da r sunt numere reale.

Exemple:

Rezolvați următoarele ecuații,

www.sapiensman.com/ESDictionary - Vocabular tehnic engleză - spaniolă