Astăzi vă propunem o mică provocare legată de una dintre cele mai interesante ramuri ale Economie (mai ales pentru cei dintre noi care provin din lumea științei și ingineriei), care este studiul alegerii cu incertitudine. Este vorba despre adăugarea teoria probabilității la modelele economice obișnuite și studiază jocuri de noroc și loterii (un concept care este practic aplicabil oricărei situații din viața reală, deoarece rezultatul alegerilor noastre depinde de obicei de factori aleatori externi).

sankt

Începem de la valorea estimata a unui joc de noroc. Acesta nu este altceva decât profitul mediu pe care îl vom obține atunci când vom juca acest joc. De exemplu, să presupunem un joc în care primim șapte euro dacă aruncăm un 6 pe o matriță și un euro dacă aruncăm orice alt număr. Există 1/6 de probabilitate de a obține șapte euro și 5/6 de a obține un euro. Prin urmare, valoarea așteptată a acestui joc va fi 1/6 7 + 5/6 1 = 2. Adică, dacă jucăm de multe ori, vom ajunge să obținem în medie doi euro pe rotire.

Din punct de vedere matematic, pare clar că un joc este „corect” dacă prețul pe care îl plătim este egal cu valoarea așteptată. Dacă plătim doi euro de fiecare dată când jucăm, nimeni nu ne înșală sau face profituri extraordinare. Banca nu ar face bani taxând doi euro pe rotire, deoarece în medie ar plăti doi euro pe rotire. Acest raționament pare copleșitor de logic. Și totuși acum aproximativ 300 de ani, Nicholas bernoulli a găsit o fisură majoră, reflectată în Paradoxul Sankt Petersburg.

Bernoulli și-a pus următoarea provocare: să presupunem că un joc care constă în aruncarea unei monede și obținerea cât mai multor capete la rând, până când ies o coadă și jocul este oprit. De fiecare dată când apare un chip nou premiu, până când se extrage o cruce și apoi jucătorul ia toate câștigurile acumulate.

Adică, dacă prima aruncare este o coadă, nu se câștigă nimic; dacă primul este capetele și urmatoarele cozi, câștigi doi euro; Dacă vin două capete și o coadă, patru sunt câștigate și așa mai departe. De exemplu, dacă ar exista cineva atât de norocos încât să obțină zece capete la rând înainte de a obține o coadă, ar câștiga 2 10 euro, adică 1024 euro.

Care este valoarea așteptată a acestui joc? Să vedem, posibilitatea de a obține o față este 1/2 și are un premiu de 2 euro; cea de a lua două fețe este (1/2) · (1/2) și premiul este de 4 euro; cel care obține trei fețe este (1/2) · (1/2) · (1/2) și s-ar câștiga 8 euro. este ușor de văzut că valoarea așteptată este 2/2 + 2 2/2 2 + 2 3/2 3 +. = 1 + 1 + 1 + 1 +. catre infinit!

Actualizare: În paragraful anterior, probabilitățile sunt de fapt corecte dacă luăm în considerare că prima rulare nu este coadă. Strict, toate probabilitățile date ar trebui împărțite la 2, astfel încât probabilitatea de a trage un cap ar fi de fapt 1/4 (capete în prima, cozi în a doua și premiul este decontat). Dar nu afectează deloc raționamentul nostru: jumătate de infinit este tot la fel de infinit!)

Paradoxul are ca rezultat faptul că avem un joc de noroc a cărui valoare așteptată este infinită. Și totuși este absurd să credem că „infinitul” ar putea fi un preț corect de jucat. De fapt, dacă am face un sondaj, este probabil că puțini oameni ar fi dispuși să participe plătind mai mult de cinci sau șase euro. Se pare că raționamentul nostru inițial cu privire la „prețul echitabil” al jocurilor de noroc are un defect major. Dar care?

Soluția, în curând, între timp, vă invităm să vă creșteți puțin creierul (nu căutați pe Wikipedia și nu publicați rezultatul;)). Un indiciu: banii nu valorează la fel pentru matematicieni ca și pentru muritorii obișnuiți.