Reflectarea și transmiterea undelor în corzi

transmisi

fundament teoretic

Eu. INTRODUCERE

II. FUNDAȚIA TEORETICĂ

Începem prin a scrie soluția armonică pentru unda incidentă în mediul 1:

;

unde este amplitudinea sa și

· La atingerea punctului de joncțiune între cele două șiruri (x = 0), o parte a undei menționate va fi reflectată la mediul 1 și o parte a undei va fi transmisă la mediul 2. Expresia acestor unde va fi:

Unde

· Condițiile limită la uniune (x = 0) ne permit să găsim relațiile y .

Cele două condiții limită care trebuie îndeplinite la punctul de joncțiune sunt evidente (x = 0).

și întrucât valul din mijlocul 1 este suma incidentului și a reflexului,

Pe de altă parte, forțele verticale exercitate de la fiecare coardă asupra punctului de joncțiune trebuie să fie egale și opuse deoarece, altfel, un element diferențial de masă în contactul menționat ar dobândi o accelerație infinită.

Cum putem scrie ultima ecuație ca,

Putem scrie astfel de coeficienți în funcție de diferite variabile:

unde și sunt impedanțele mecanice caracteristice ale ambelor corzi.

II.b. Reflectarea și transmiterea impulsurilor

· Expresia matematică pentru un impuls arbitrar sau o formă de undă este mai complexă decât pentru cazul undelor armonice, care necesită, strict vorbind, să fie de extensie infinită. Soluția (prin metoda lui D'Alembert) pentru ecuația undei într-o dimensiune se dovedește a fi o funcție arbitrară f (x - ct), dacă luăm în considerare deplasarea spre dreapta.

· Perturbările reflectate și transmise pot fi, de asemenea, plasate ca funcții arbitrare în variabilele corespunzătoare:

Condițiile de frontieră rămân analoage:

· Integrarea ultimei ecuații ne conduce la:

Rezolvând (1) și (3) obținem:

· S-ar putea crede că relațiile găsite sunt valabile numai în poziția x = 0. Acesta este rezultatul găsit, dar este de asemenea adevărat că astfel de relații sunt valabile și la x = 0 pentru toate momentele de timp, în timp ce incidența pulsului apare. În consecință, relația pe care impulsurile reflectate și transmise o verifică (în ceea ce privește incidentul) la un moment pentru x = 0, va fi verificată la un moment ulterior pentru noile poziții pe care le ocupă în mediile lor corespunzătoare (media 1 pentru reflectat și mediu 2 pentru transmis), în funcție de viteza de propagare a acestora.

În acest fel, după sosirea impulsului incidentului în punctul care separă mediul, valoarea deplasării undei reflectate în punctul x = - c va fi valoarea pe care incidentul ar lua-o dacă ar continua pe drumul său la mijloc, prin coeficientul găsit în ecuația (4)

· Același raționament poate fi aplicat și pentru unda transmisă, dar ținând cont de faptul că în mediul 2 viteza de propagare este C2, deci pentru unda transmisă. Categoric: