Solid rigid

Activități

totală este

Balansoarul este utilizat în două moduri diferite:

Un copil este așezat pe tablă și o persoană împinge periodic și în fază cu mișcarea sa pentru a crește sau a menține amplitudinea oscilațiilor leagănului.

Un copil care este montat pe un leagăn, în poziție verticală pe tablă, își mișcă corpul pentru a crește amplitudinea oscilației.

Pentru a explica calitativ funcționarea acestui leagăn autopropulsat, vom presupune că centrul de masă al copilului crește sau coboară brusc în anumite poziții ale oscilației.

Se va efectua o analiză simplificată, în care copilul este considerat ca o masă punctuală situată în centrul său de masă, care poate ridica sau coborî c.m. o lungime δ prin acțiunea forțelor interne. Fricțiunea aerului și axa oscilației vor fi, de asemenea, neglijate.

Etapele mișcării

În această secțiune, vom face o analiză detaliată a fiecăreia dintre etapele unui ciclu de oscilații swing.

Primul stagiu

Leaganul părăsește poziția θ0 cu viteza unghiulară inițială zero ω= 0. Ajungeți la poziția de echilibru θ= 0, cu o viteză unghiulară ω1, care se calculează prin aplicarea principiului conservării energiei.

Unde md 2 este momentul de inerție al unei mase punctuale m cat de departe d a axei de rotație O.

Energia totală inițială este E1=mgd(1-cosθ0)

A doua faza

Când leagănul atinge poziția de echilibru θ= 0, copilul își ridică centrul de masă (c.m.) la o distanță δ. În acel moment precis, momentul forțelor care acționează asupra oscilației este zero (toate forțele trec prin originea O), impulsul unghiular rămâne constant.

Momentul unghiular inițial este md 2 ω1

Momentul unghiular final este m (d-δ) 2 ω2

Viteza unghiulară finală ω2 crește pe măsură ce distanța până la axa de rotație scade.

Energia totală este

Bilanțul energetic

Calculăm în poziția de echilibru θ= 0, energia inițială, energia finală și munca pe care forțele interioare o exercită pentru a ridica o înălțime δ centrul de masă al copilului.

Energia inițială este

Energia finală este

Pentru ca copilul să-și ridice poziția centrului său de masă δ, trebuie să facă o treabă. Forța minimă F că trebuie să-și exercite mușchii trebuie să compenseze suma greutății mg și forța centrifugă mω 2 x. Fiind X distanța de la centrul de masă la axa de rotație O.

Constanța impulsului unghiular în poziția de echilibru θ= 0 ne oferă valoarea vitezei unghiulare ω când c.m. este la distanță X a axei de rotație O

md 2 ω1= mx 2 ω

Forta F are același sens ca deplasarea, munca este pozitivă

Am constatat că munca depusă de forțele interne pentru ridicarea c.m. este egal cu diferența dintre energia finală și cea inițială.

A treia etapă

Acum avem situația opusă primei etape, leagănul cu o viteză unghiulară inițială ω2 în poziție θ= 0, atinge o deplasare unghiulară maximă θ1. Aplicarea principiului conservării energiei

Unghiul maxim θ1 că leagănul deviază este, combinat expresiile anterioare

Ce d>(d-δ) se pare că θ1>θ0

Energia totală este

E2=mg(d- δ) (1-cos θ1)+mg δ = mgd (1-cos θ1)+mg δ cos θ1

A patra etapă

La poziția unghiulară de abatere maximă θ1, viteză unghiulară ω= 0. Copilul coboară poziția centrului său de masă în δ.

Singura modificare pe care o suferă sistemul este o scădere a energiei potențiale datorită muncii forțelor interne. Punerea pe axa O la nivelul zero al energiei potențiale.

ΔEp=-mgdcosθ1+mg(d-δ) cosθ1= -mgδcosθ1

Energia totală este

Etapa a cincea

Similar cu prima etapă, leagănul se deplasează spre poziția de echilibru stabil θ= 0, care atinge cu o viteză unghiulară ω3. Aplicarea principiului conservării energiei

Energia totală este E3

A șasea etapă

A șasea etapă este similară celei de-a doua etape. În poziția de echilibru stabil, centrul de masă crește o înălțime δ. Viteza unghiulară crește din nou de la ω3 la ω4. Constanța impulsului unghiular în poziția de echilibru stabil θ= 0, ne oferă valoarea vitezei unghiulare finale ω4.

Energia totală este

Etapa a șaptea

A șaptea etapă este similară celei de-a treia etape. Oscilația începe din poziția stabilă de echilibru θ= 0, cu o viteză unghiulară inițială ω4, atingând o deplasare maximă θ2 obținută prin aplicarea principiului conservării energiei

Ce ω4> ω3 deplasarea maximă θ2 > θ1

Relatăm cele două deplasări folosind formula

Energia totală este

E4=mg(d- δ) (1-cos θ2)+mg δ = mgd (1-cos θ2)+mg δ cos θ2

Etapa a opta

Energia totală este

Swing ecuații de mișcare între pozițiile medii și extreme

Ecuația de mișcare a oscilației între poziții extreme θi (i = 0, 1, 2,3 .) și poziția stabilă de echilibru θ =0, este același cu cel al unui pendul de lungime l = d, l = d-δ, în funcție de distanța dintre c.m. și axa O a leagănului.

Momentul unghiular al unei particule de masă m în ceea ce privește originea O este produsul momentului de inerție ml 2 prin viteza unghiulară ω, L = ml 2 ω

Momentul M a forțelor care acționează asupra particulei față de originea O este

M = -mglsenθ

Ecuația mișcării este dL/dt = M este scris ca o ecuație diferențială

Condițiile inițiale depind de fiecare etapă a mișcării:

  • În prima etapă, l = d, θ = θ0, dθ/dt =0
  • în a treia etapă, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω2
  • în etapa a cincea, l = d, θ = θ1, dθ/dt =0
  • în etapa a șaptea, l = d- δ, θ =0, dθ/dt = ω4
  • și așa mai departe.

rezumând

Pivotul trebuie să fie inițial compensat de un unghi θ0> 0, astfel încât mecanismul descris în această pagină să poată funcționa.

C.m. copilului crește și cade instantaneu prin acțiunea forțelor interne, în poziția de echilibru și în pozițiile de deplasare maximă.

Prin intermediul mecanismului descris, activitatea forțelor interne (acțiunea mușchilor) este investită în creșterea deplasării maxime a oscilației astfel încât θ0 δ/d din c.m. a copilului în pozițiile extreme și în mijlocul oscilației.

Exemplu

Deplasarea unghiulară inițială θ0= 10є

Deplasarea c.m. δ= 6cm = 0,06m

Distanța de pornire d= 1,0 între c.m. și axa de rotație O.

Un ciclu complet de funcționare a oscilației este prezentat în figură

1.-Energia inițială este E1=mgd(1-cosθ0) =m9,8 1,0 (1-cos10є) = 0,15m

2.-Se aplică principiul conservării energiei. Viteză unghiulară ω1 în poziția de echilibru este

3.-Centrul de masă crește, impulsul unghiular este conservat

md 2 ω1 = m(d-δ) 2 ω2, ω2 = 0,62 rad/s

Energia totală este

4.-Energia cinetică este convertită în energie potențială, leagănul deviază un unghi θ1

5.-Centrul de masă coboară, energia totală este

E5=m9.8·1 (1-cos11є) = 0,18m

6.-Se aplică principiul conservării energiei. Viteză unghiulară ω3 în poziția de echilibru este

7.-Centrul de masă crește, impulsul unghiular este conservat

md 2 ω3 = m(d-δ) 2 ω4, ω4 = 0,68 rad/s

Energia totală este

8.-Energia cinetică este convertită în energie potențială, leagănul deviază un unghi θ2

9.-Centrul de masă coboară, energia totală este

E9=m9.8·1 (1-cos12є) = 0,22m

10.-Începe un nou ciclu.

Deplasările maxime pot fi calculate folosind formulele

Aplicăm aceeași formulă pentru a calcula deplasarea maximă θ2, cunoscut θ1.

și așa mai departe.

Programul interactiv a fost conceput astfel încât deplasarea maximă θi (i = 0, 1, 2,3 .) nu crește la nesfârșit. Când această deplasare depășește 75є, sensul de δ. C.m. scade când leagănul trece prin poziția de echilibru θ =0 prin scăderea vitezei unghiulare în loc de creșterea acesteia. Din punct de vedere energetic, vom spune că forțele interne fac o muncă negativă care face ca energia finală să fie mai mică decât cea inițială.

Oscilația scade în amplitudine în fiecare ciclu al mișcării sale oscilatorii, până când se oprește după un timp teoretic infinit. În practică, fricțiunea cu aerul și în axă și alte variabile care nu au fost luate în considerare în acest model simplificat determină oprirea acestuia după un anumit timp.

Activități

Deplasarea unghiulară inițială θ0> 0, un unghi în grade în controlul de editare intitulat Unghiul de pornire

Deplasare δ din centrul de masă, în cm, a selectat un număr din controlul de selecție intitulat Deplasare c.m.

Distanța inițială de la c.m. la axa de rotație O este setat la d= 1,0 m.

Apăsați butonul intitulat Începe

Se observă mișcarea leagănului, iar schimbarea poziției c.m. a copilului reprezentat printr-un punct roșu, când leagănul trece prin pozițiile de deplasare maximă ω= 0, pentru poziția de echilibru stabil θ= 0.

În partea dreaptă a appletului, este afișată energia totală a oscilației. Nivelul zero al energiei potențiale a fost stabilit în partea inferioară a traiectoriei cm, adică la poziția cm. când leagănul este în echilibru θ0= 0. Putem observa unde se schimbă energia totală și unde este conservată, transformând energia potențială în energie cinetică și invers.

Referințe

Ceai P., Falk H. Bombând pe un leagăn. Am. J. Phys. 36 (1968) 1165-1166