Oscilații

Activități

viteza unghiulară

Lungimea unei elipse.

În capitolul Solid rigid, am studiat micile oscilații ale unui pendul compus. Pe această pagină, vom studia comportamentul general al unui pendul, pentru amplitudini mici și mari, și chiar și atunci când pendulul se rotește.

Ecuația diferențială care descrie comportamentul pendulului compus este

(1)

Când unghiul q este mic, atunci sin q »q . Pendulul descrie un M.A.S. a cărui perioadă P0 este

Perioada pendulului

Să presupunem că pendulul se află într-o poziție stabilă de echilibru și îl furnizăm cu o energie ȘI.

Pendulul capătă o viteză inițială w 0. Pe măsură ce un unghi q se mișcă, energia cinetică de rotație este convertită în energie potențială, până când atinge o abatere maximă q 0 când w = 0. Apoi, procesul invers este realizat, energia potențială este convertită în energie cinetică de rotație, până când trece din nou prin poziția de echilibru q =0, toată energia potențială a fost convertită în cinetică, viteza unghiulară a pendulului va fi - w 0. Pendulul atinge apoi din nou deviația maximă - ce 0 și, în cele din urmă, revine la poziția de echilibru stabil completând oscilația.

Când pendulul atinge deviația maximă w = 0 și E = mgb(1-cos q 0)

Eliberarea timpului dt în ecuația diferențială

Când pendulul atinge deviația maximă q = q 0 Sau, când j = p/2, ați folosit un sfert din perioadă P plină desfășurare.

Termenul P a unei oscilații o putem scrie

Unde P0 este perioada oscilațiilor de mică amplitudine.

Integrala este numită eliptică completă de primul fel. Programul interactiv care urmează calculează coeficientul P/P0 când introducem amplitudinea θ0 oscilaţie. Calculul se bazează pe procedura Carlson pentru găsirea integralei eliptice de primul tip numit RF (x, y, z). Pleacă de aici Rețete numerice în C, Funcții speciale. Capitolul 6є

Program pentru a calcula perioada unui pendul pentru orice amplitudine

Dezvoltare în serie

Dezvoltăm în serie numitorul integralei eliptice

Integrala devine

Pentru rezolvarea integralelor se utilizează următoarele relații trigonometrice:

Dezvoltarea în serie a perioadei P este

(Două)

Dacă amplitudinea este mică putem scrie

iar perioada este aproximativă

Aceasta este prima aproximare la formula pentru perioada unui pendul

Concluzia finală este că perioada P crește odată cu amplitudinea q 0. În timp ce perioada P0 este independent de amplitudine atâta timp cât amplitudinea nu este foarte mare și se poate aplica aproximarea sin q »q .

Formule aproximative pentru perioada unui pendul

Mai multe formule aproximative pentru perioada pendulului sunt cunoscute pentru orice amplitudine, care poate fi comparată cu expresia exactă

Reprezentarea grafică corespunde curbei roz, care aproxima cel mai bine curba roșie.

Reprezentarea grafică corespunde curbei negre, care este oarecum mai bună decât cea precedentă curbei roșii.

Reprezentarea grafică corespunde curbei de culoare verde, care este cea care aproxima cel mai bine curba de culoare roșie.

Curba energiei potențiale

După cum am văzut deja în acest capitol, curbele de energie potențială ne oferă informații calitative despre comportamentul sistemului fizic.

Energia potențială a pendulului este ȘIp =mgb(1-cos q). Energia potențială maximă a pendulului este de 2mgb, când se află în poziția inversată. Reprezentăm în partea din dreapta sus a appletului, coeficientul energiei potențiale ȘIp între energia maximă a puterii, în funcție de unghiul q, adică funcția

În aceste unități, energia potențială maximă este unitatea pentru q = p, când pendulul este inversat (poziție de echilibru instabilă) și minimul (zero) pentru q =0, poziție stabilă de echilibru.

În această diagramă, reprezentăm printr-o linie neagră energia totală ȘI, suma energiei potențiale și a energiei cinetice. Un segment vertical de culoare roșie indică energia potențială a pendulului pentru poziția q , și un segment de culoare albastră energia cinetică a pendulului în acea poziție. Valorile energiei totale, cinetice și potențiale au fost împărțite la energia potențială maximă 2 mgb.

Principiul conservării energiei afirmă că suma energiei cinetice și a energiei potențiale este constantă. Deci, energia cinetică este maximă atunci când energia potențială este minimă (atunci când pendulul trece prin poziția stabilă de echilibru) și energia cinetică este minimă (zero) atunci când pendulul atinge deviația maximă.

În diagrama de fază reprezentăm viteza unghiulară w (sau impulsul unghiular I0W ) în funcție de deplasarea unghiulară q .

Dacă mișcarea unui sistem fizic este periodică, sistemul revine la aceeași stare după un ciclu complet. Reprezentarea traiectoriei sale în spațiul de fază este o curbă închisă.

Pentru a obține ecuația acestei căi, este suficient să scrieți principiul conservării energiei

Pentru o energie totală dată ȘI, această ecuație corelează viteza unghiulară w cu deplasarea unghiulară q .

Observăm că traiectoria în spațiul de fază este simetrică față de axa verticală w (a vitezei unghiulare). Această simetrie înseamnă că mișcarea pendulului este aceeași în sensul acelor de ceasornic ca în sens invers acelor de ceasornic. Pot apărea două cazuri:

Oscilații

Că energia totală ȘI pendulului este mai mică decât valoarea maximă a puterii energetice (ȘI ce 0 și - q 0.

Putem calcula această amplitudine punând w = 0 pe principiul conservării energiei.

ȘI= 2mgb(1-cos ce 0)

Exemplu: fi și= 0,5 (energie în unități a energiei potențiale maxime) apoi q 0 = p/2 = 90є. da și= 0,1 apoi q 0 =36,9є

Dacă amplitudinea este mică, pendulul descrie o mișcare armonică simplă și traiectoria în spațiul de fază se apropie de o elipsă.

Numitorii acestei ultime expresii ne oferă pătratele semiaxelor elipsei. Semiaxa orizontală (amplitudinea maximă) este

Pe măsură ce energia crește, calea în spațiul de fază se abate de la forma eliptică și oscilația nu mai este armonică. Deoarece pendulul petrece mult mai mult timp în apropierea abaterii sale maxime decât 0, traiectoria în spațiul de fază devine mai ascuțită la capetele din stânga și din dreapta și mai plată în partea de sus și de jos.

Rotații

Când energia totală ȘI pendulului este mai mare decât valoarea maximă a energiei potențiale (ȘI> 2mgb) O bine (și> 1), pendulul face viraje complete.

Mișcarea de rotație nu este uniformă, viteza este maximă când trece prin poziția stabilă de echilibru și este minimă când trece prin poziția pendulului inversat. Poziția unghiulară a pendulului crește continuu, iar viteza unghiulară este întotdeauna pozitivă (dacă rotația este în sens invers acelor de ceasornic).

Pendulul repetă aceeași mișcare atunci când poziția sa unghiulară q crește cu 2 p, 4 p etc. Pentru a descrie această mișcare în spațiul de fază, este suficient să se ia în considerare partea spațiului menționat între - p și p. Punctul care reprezintă poziția și viteza unghiulară a pendulului în spațiul de fază părăsește această regiune din dreapta și intră din stânga.

Perioada pendulului

Din ecuația conservării energiei rezolvăm viteza unghiulară ω pendul

Timpul necesar pentru ca pendulul să se deplaseze între poziții θ Da θ+dθ este

Termenul P este

Aplicația de mai jos calculează coeficientul P/P0 când se introduce energia și> 1 a pendulului, rezolvând integralul definit prin procedura numerică a lui Simpson.

Calea separatoare

Când energia totală a pendulului ȘI= 2mgb, (și= 1) suntem în cazul limitativ. Traiectoria punctului reprezentativ în spațiul de fază este marcată cu roșu în partea din dreapta jos a appletului și se numește separatrix.

îndura ȘI= 2mgb În principiul conservării energiei, obținem ecuația separatrixului

Separatrixul împarte spațiul de fază în regiuni care corespund a două tipuri diferite de mișcare.

Când pendulul atinge poziția q = - p sau q = p, viteza sa unghiulară w =0, pendulul se află într-o stare instabilă de echilibru, în așa-numita poziție inversată. O mică deplasare într-o direcție sau cealaltă determină pendulul să oscileze cu o amplitudine foarte apropiată de p. Și o mică apăsare îl face să descrie o mișcare de rotație. Pendulul, așa cum putem vedea în tabelul următor, petrece mult timp în vecinătatea poziției inversate și perioada sa P devine infinită pentru energie ȘI= 2mgb (și= 1).

Unghi Perioadă P/P0
179 3,91
179,5 4.34
179,9 5.36
179,99 6.41

Activități

Se introduce valoarea energiei totale și în controlul de editare intitulat Energie. Această valoare este coeficientul dintre energia totală a pendulului ȘI iar energia potențială maximă 2mgb.

Apăsați butonul intitulat Începe.

Mișcarea punctului reprezentativ este observată în spațiul fazelor și forma traiectoriei pe care o descrie.

În partea dreaptă sus a appletului, putem vedea cum se schimbă energia cinetică (linia albastră groasă) și energia potențială (roșie) odată cu poziția q a pendulului.

Referințe

Butikov. E. Pendulul rigid - un model fizic antic, dar veșnic verde. Eur. J. Phys.20 (1999) pp. 429-441.

Molina M. I., Liniarizări simple ale pendulului simplu pentru orice amplitudine. Profesorul de fizică, vol. 35, noiembrie 1997, pp. 489-490

Kidd R. B. Fogg S. L., O formulă simplă pentru perioada pendulului cu unghi mare. The Physics Teacher Vol 40, februarie 2002, pp. 81-83

Mei L. E., Perioada pendulului cu unghi mare. Profesorul de fizică, vol. 41, martie 2003, pp. 162-163

Lima F.M. S., Arun P., O formulă precisă pentru perioada unui pendul simplu care oscilează dincolo de regimul de unghi mic. Am. J. Phys. 74 (10) octombrie 2006, pp. 892-895.

Puig Adam P., Calcul integral. Editorial Biblioteca Matemбtica 1972, pagina 97

Lungimea unei elipse.

O elipsă se caracterizează prin axa sa semi-majoră la și axa sa semi minoră b.

Ecuația unei elipse este

Lungimea unui arc mic al unei curbe este,

Lungimea perimetrului elipsei este de patru ori lungimea părții elipsei dintr-un cadran.

Efectuarea modificării variabilei x = asenθ, dx = acosθ · dθ

Unde și se numește excentricitatea elipsei. Această integral se numește integral eliptic complet de al doilea fel.

c este jumătatea distanței focale

O formulă aproximativă pentru lungimea elipsei este

În programul interactiv, valorile semi-axelor sunt introduse mai jos la Da b a elipsei și a programului ne oferă lungimea L a elipsei.

Activități

Axa semi-majoră a elipsei, acționând pe bara de defilare intitulată Semiconductor major a.

Axa semi minoră a elipsei, acționând pe bara de defilare intitulată Axa semi minoră b.

Apăsați butonul intitulat calculati

Axa semi minoră b trebuie să fie mai mică sau egală cu axa semi-majoră la, în caz contrar, programul nu continuă.

Comparați rezultatul obținut de acest program, care folosește o rutină care calculează integrala eliptică completă de al doilea fel, cu formula aproximativă menționată la sfârșitul secțiunii.

Cod sursa.

Integrale eliptice ale primei și celei de-a doua specii

Adaptat la limbajul Java al codului în limbajul C preluat din Rețete numerice în C, Arta calculului științific. Funcții speciale. Capitolul 6є.